從流動的電磁測量理論出發,用交替迭代的方法求解三維條件下復雜域的Laplace方程,得到含有一個氣泡時電磁流量計權函數中虛電流勢的分布,并藉此研究氣泡大小和位置對虛電流分布變化的影響和流量計可能產生的測量誤差。
電磁流量計是一種重要的流量測量儀表。當導電流體(如水等)流過外加磁場時,在作切割磁力線運動。根據法拉第電磁感應定律,在流體中就會產生感應電動勢,并且該感應電動勢與流體速度成一定關系。因此,可以通過測量感應電動勢的值來求出流體速度和流量。這就是電磁流量計測量流量的基本原理。
電磁流量計應用于多相流中時具有的優點,如對流速分布不太敏感,管道中無阻礙流動的部件等[1],但這種儀表的基本理論是建立在單相流上的。當流體中出現如油或氣泡等非導電體時,會使感應電動勢的分布發生變化。因此,必須進行理論分析,得到非導電相影響的規律。在簡化的二維模型下,文獻[2]和[3]分別求解了單個氣泡處于流量計管軸線和橫截面不同位置時虛電流的分布情況。但對于實際的三維問題,到目前為止還未見到有關文獻報導。本文旨在求解在流量計中含有一個球形氣泡的情況下虛電流的分布特性。研究結果可為多相流的電磁感應測量提供進一步研究的基礎。
2 基礎理論
由Maxwell方程及一定假設條件下可推得電磁流量計的基本方程:
式中:U是感應電動勢;矢量V→是導電流體的流速;B→是磁感應強度。式(1)的積分方程為:
式中:U2-U1是兩電極的電勢差;A表示對所有空間積分;W→為矢量權函數,它是一個只由電磁流量計本身結構決定的量,其表達式為:
式中j→為虛電流密度,是一個完全由A上的電邊界條件所決定的量。若被測流體內無電流源,則j→可用勢G表示為:
虛電流是電磁流量計理論中一個重要的量。如果磁場是均勻的,則感應電動勢的分布等于虛電流的勢G乘以免數值為常量的磁場強度。當電磁流量計中含非導電體(如氣泡)時,虛電流的勢會受到影響,使分布變得復雜。如果氣泡較高長時,作***可以在二維坐標系下分析解決;而氣泡較高短時,只有在三維坐標系下進行研究。在此,作***研究只含一個氣泡時的情況。對于含多個氣泡的情況可在此基礎上加以推廣。如要知道虛電流勢的分布情況,則需要求解三維的Laplace方程。在簡單邊界條件下,用分離變量法即可求得。復雜邊界條件下,一般需要依靠數值解。但純粹的數值解缺乏可分析性。這里我們采用文獻[3]中所介紹的交替迭代法求解,其優點是解仍保持***數形式。
3 虛電流勢的求解過程
理論模型如圖1所示。
由于不能作***解同時滿足式(6)的兩個邊界條件,所以先考慮滿足部分邊界條件的解。首先考慮沒有氣泡時,在柱坐標系下求解方程(5)。用分離變量法求得的通解為:
考慮流量計管壁是*絕緣的,在直徑位置上有兩個點電極(電極本身是良好導體),氣泡是球形、非導電的,則虛電流的勢滿足以下邊界條件:
式(7)和式(8)各自只滿足邊界條件式(6)的***半,完整的解必須滿足所有的邊界條件。通過形如式(7)和(8)求得完整解的過程就是文獻[3]所介紹的交替迭代法。
在迭代計算中,必須在柱坐標和球坐標之間進行坐標變換。建立如下坐標系:以過電極的橫截面中心點為原點o,建立直角坐標系(x,y,z);以氣泡中心為原點o′,建立直角坐標系(x′,y′,z′),其中o′在直角坐標系(x,y,z)下的坐標為(x0,y0,z0),如圖1所示。為了求解方便,還在(x,y,z)上建立柱坐標系(ρ,θ,z),在(x′,y′,z′)上建立球坐標系(r′,φ′,θ′)。從球坐標到柱坐標的變換:球坐標→直角坐標:
(2)根據下式作進一步迭代:
(3)將解(16)代入邊界條件,得到該解在管壁邊界上的誤差e1和氣泡表面邊界上的誤差e2分別為:
當N足夠大時,e1、e2趨于***,GFin近似滿足所給定的邊界條件。這樣,式(16)就是滿足式(6)所有邊界條件的一個近似***數解。
4 結果與討論
根據上面所述的計算步驟和公式編寫程序,完成計算工作。由于三維坐標下的等勢圖不便表達,所以這里取不同截面來表現求得的虛電流分布情況。計算中設管道半徑R0=1·0,氣泡半徑r0=0·5。以下坐標位置都是在直角坐標(x,y,z)下表示。
(1)取氣泡中心位于(0,0,0)、(-0·2,0·0,0·7)和(0,0,1·5)時,在x-z截面上虛電流勢的分布圖分別如圖2(a)、(b)、(c)所示。
(2)氣泡中心位于直角坐標(0·2,0·2,0·4)時,取z為0、0·4、0·7時的管道橫截面的虛電流勢分布圖分別如圖3(a)、(b)、(c)。
從圖2和圖3可以了解存在氣泡時虛電流勢分布的具體情況,還可以根據需要計算其它氣泡直徑、位置的情況。這對儀器設計以及詳細研究氣泡影響都有著重要意義。
(3)為了定量地考察氣泡對流量計測量誤差的影響,定義以下量:
式中:G、G0分別為有和無氣泡時的虛電流勢;x方向是電極連線方向;A是流量計有效體積。圖4(a)表示不同直徑的氣泡沿著z軸不同位置時的c的變化,圖中可看到氣泡在電極橫截面位置(z=0)上c***,而在上下游c逐漸減小。另外,同一位置上,c值隨氣泡直徑增大較高快。圖4(b)則是同天然氣泡(r0/R0=0·5)偏離管中心軸不同程度時的c隨z的變化情況,其中坐標x/R0=0·3比x/R0=0·2***靠近電極,前***的c值也比后***大許多。
(1)求得三維情況下含有單獨球形氣泡的電磁流量計虛電流勢的分布特性。該結果對研究電磁流量計的多相流理論具有重要意義。
(2)由求得的虛電流的勢對氣泡在流量計不同位置下的影響進行研究,得到氣泡產生測量誤差的規律。
(3)在三維坐標系下,用交替迭代法解復雜邊界條件下的Laplace方程,僅需迭代4~5次,便可達到很的精度。這說明了該迭代法不僅適用于二維計算,同時也適用于三維計算,有廣闊的應用前景。