從流動(dòng)的電磁測(cè)量理論出發(fā),用交替迭代的方法求解三維條件下復(fù)雜域的Laplace方程,得到含有一個(gè)氣泡時(shí)電磁流量計(jì)權(quán)函數(shù)中虛電流勢(shì)的分布,并藉此研究氣泡大小和位置對(duì)虛電流分布變化的影響和流量計(jì)可能產(chǎn)生的測(cè)量誤差。
電磁流量計(jì)是一種重要的流量測(cè)量?jī)x表。當(dāng)導(dǎo)電流體(如水等)流過外加磁場(chǎng)時(shí),在作切割磁力線運(yùn)動(dòng)。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,在流體中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),并且該感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與流體速度成一定關(guān)系。因此,可以通過測(cè)量感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的值來求出流體速度和流量。這就是電磁流量計(jì)測(cè)量流量的基本原理。
電磁流量計(jì)應(yīng)用于多相流中時(shí)具有的優(yōu)點(diǎn),如對(duì)流速分布不太敏感,管道中無阻礙流動(dòng)的部件等[1],但這種儀表的基本理論是建立在單相流上的。當(dāng)流體中出現(xiàn)如油或氣泡等非導(dǎo)電體時(shí),會(huì)使感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的分布發(fā)生變化。因此,必須進(jìn)行理論分析,得到非導(dǎo)電相影響的規(guī)律。在簡(jiǎn)化的二維模型下,文獻(xiàn)[2]和[3]分別求解了單個(gè)氣泡處于流量計(jì)管軸線和橫截面不同位置時(shí)虛電流的分布情況。但對(duì)于實(shí)際的三維問題,到目前為止還未見到有關(guān)文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)。本文旨在求解在流量計(jì)中含有一個(gè)球形氣泡的情況下虛電流的分布特性。研究結(jié)果可為多相流的電磁感應(yīng)測(cè)量提供進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)。
2 基礎(chǔ)理論
由Maxwell方程及一定假設(shè)條件下可推得電磁流量計(jì)的基本方程:
式中:U是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì);矢量V→是導(dǎo)電流體的流速;B→是磁感應(yīng)強(qiáng)度。式(1)的積分方程為:
式中:U2-U1是兩電極的電勢(shì)差;A表示對(duì)所有空間積分;W→為矢量權(quán)函數(shù),它是一個(gè)只由電磁流量計(jì)本身結(jié)構(gòu)決定的量,其表達(dá)式為:
式中j→為虛電流密度,是一個(gè)完全由A上的電邊界條件所決定的量。若被測(cè)流體內(nèi)無電流源,則j→可用勢(shì)G表示為:
虛電流是電磁流量計(jì)理論中一個(gè)重要的量。如果磁場(chǎng)是均勻的,則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的分布等于虛電流的勢(shì)G乘以免數(shù)值為常量的磁場(chǎng)強(qiáng)度。當(dāng)電磁流量計(jì)中含非導(dǎo)電體(如氣泡)時(shí),虛電流的勢(shì)會(huì)受到影響,使分布變得復(fù)雜。如果氣泡較高長(zhǎng)時(shí),作***可以在二維坐標(biāo)系下分析解決;而氣泡較高短時(shí),只有在三維坐標(biāo)系下進(jìn)行研究。在此,作***研究只含一個(gè)氣泡時(shí)的情況。對(duì)于含多個(gè)氣泡的情況可在此基礎(chǔ)上加以推廣。如要知道虛電流勢(shì)的分布情況,則需要求解三維的Laplace方程。在簡(jiǎn)單邊界條件下,用分離變量法即可求得。復(fù)雜邊界條件下,一般需要依靠數(shù)值解。但純粹的數(shù)值解缺乏可分析性。這里我們采用文獻(xiàn)[3]中所介紹的交替迭代法求解,其優(yōu)點(diǎn)是解仍保持***數(shù)形式。
3 虛電流勢(shì)的求解過程
理論模型如圖1所示。
由于不能作***解同時(shí)滿足式(6)的兩個(gè)邊界條件,所以先考慮滿足部分邊界條件的解。首先考慮沒有氣泡時(shí),在柱坐標(biāo)系下求解方程(5)。用分離變量法求得的通解為:
考慮流量計(jì)管壁是*絕緣的,在直徑位置上有兩個(gè)點(diǎn)電極(電極本身是良好導(dǎo)體),氣泡是球形、非導(dǎo)電的,則虛電流的勢(shì)滿足以下邊界條件:
式(7)和式(8)各自只滿足邊界條件式(6)的***半,完整的解必須滿足所有的邊界條件。通過形如式(7)和(8)求得完整解的過程就是文獻(xiàn)[3]所介紹的交替迭代法。
在迭代計(jì)算中,必須在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)之間進(jìn)行坐標(biāo)變換。建立如下坐標(biāo)系:以過電極的橫截面中心點(diǎn)為原點(diǎn)o,建立直角坐標(biāo)系(x,y,z);以氣泡中心為原點(diǎn)o′,建立直角坐標(biāo)系(x′,y′,z′),其中o′在直角坐標(biāo)系(x,y,z)下的坐標(biāo)為(x0,y0,z0),如圖1所示。為了求解方便,還在(x,y,z)上建立柱坐標(biāo)系(ρ,θ,z),在(x′,y′,z′)上建立球坐標(biāo)系(r′,φ′,θ′)。從球坐標(biāo)到柱坐標(biāo)的變換:球坐標(biāo)→直角坐標(biāo):
(2)根據(jù)下式作進(jìn)一步迭代:
(3)將解(16)代入邊界條件,得到該解在管壁邊界上的誤差e1和氣泡表面邊界上的誤差e2分別為:
當(dāng)N足夠大時(shí),e1、e2趨于***,GFin近似滿足所給定的邊界條件。這樣,式(16)就是滿足式(6)所有邊界條件的一個(gè)近似***數(shù)解。
4 結(jié)果與討論
根據(jù)上面所述的計(jì)算步驟和公式編寫程序,完成計(jì)算工作。由于三維坐標(biāo)下的等勢(shì)圖不便表達(dá),所以這里取不同截面來表現(xiàn)求得的虛電流分布情況。計(jì)算中設(shè)管道半徑R0=1·0,氣泡半徑r0=0·5。以下坐標(biāo)位置都是在直角坐標(biāo)(x,y,z)下表示。
(1)取氣泡中心位于(0,0,0)、(-0·2,0·0,0·7)和(0,0,1·5)時(shí),在x-z截面上虛電流勢(shì)的分布圖分別如圖2(a)、(b)、(c)所示。
(2)氣泡中心位于直角坐標(biāo)(0·2,0·2,0·4)時(shí),取z為0、0·4、0·7時(shí)的管道橫截面的虛電流勢(shì)分布圖分別如圖3(a)、(b)、(c)。
從圖2和圖3可以了解存在氣泡時(shí)虛電流勢(shì)分布的具體情況,還可以根據(jù)需要計(jì)算其它氣泡直徑、位置的情況。這對(duì)儀器設(shè)計(jì)以及詳細(xì)研究氣泡影響都有著重要意義。
(3)為了定量地考察氣泡對(duì)流量計(jì)測(cè)量誤差的影響,定義以下量:
式中:G、G0分別為有和無氣泡時(shí)的虛電流勢(shì);x方向是電極連線方向;A是流量計(jì)有效體積。圖4(a)表示不同直徑的氣泡沿著z軸不同位置時(shí)的c的變化,圖中可看到氣泡在電極橫截面位置(z=0)上c***,而在上下游c逐漸減小。另外,同一位置上,c值隨氣泡直徑增大較高快。圖4(b)則是同天然氣泡(r0/R0=0·5)偏離管中心軸不同程度時(shí)的c隨z的變化情況,其中坐標(biāo)x/R0=0·3比x/R0=0·2***靠近電極,前***的c值也比后***大許多。
(1)求得三維情況下含有單獨(dú)球形氣泡的電磁流量計(jì)虛電流勢(shì)的分布特性。該結(jié)果對(duì)研究電磁流量計(jì)的多相流理論具有重要意義。
(2)由求得的虛電流的勢(shì)對(duì)氣泡在流量計(jì)不同位置下的影響進(jìn)行研究,得到氣泡產(chǎn)生測(cè)量誤差的規(guī)律。
(3)在三維坐標(biāo)系下,用交替迭代法解復(fù)雜邊界條件下的Laplace方程,僅需迭代4~5次,便可達(dá)到很的精度。這說明了該迭代法不僅適用于二維計(jì)算,同時(shí)也適用于三維計(jì)算,有廣闊的應(yīng)用前景。